Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(v_0\).
On cherche ici à calculer la somme de termes consécutifs de \((v_n)\), comme  \(v_0+v_1+v_2+…+v_{19}+v_{20}=\displaystyle\sum_{i=0}^{20}v_i\).

Propriété

Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison \(q\neq1\) et de premier terme \(v_0\). La somme de ses \(n\) premiers termes consécutifs est :

\(\boxed{\sum_{i=0}^{n-1}v_i=v_0+v_1+v_2+…+v_{n-1}=v_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q}}\)

Remarque

Attention aux indices dans cette formule : lorsqu'on parle des \(n\) premiers termes consécutifs, on s'arrête bien à \(u_{n-1}\) car on commence à \(u_0\).

Par exemple, \(\displaystyle\sum_{i=0}^{7}v_i=v_0\times\dfrac{1-q^8}{1-q}\) est bien la somme des \(8\) premiers termes de la suite \((v_n)\).

Exemple

Considérons \((v_n)\) la suite géométrique de raison \(3\) et de premier terme \(v_0=1\). On cherche à calculer la somme des \(8\) premiers termes consécutifs de cette suite, c'est-à-dire : 
\(v_0+v_1+v_2+…+v_{7}\) (on s'arrête à \(7\) car on commence à \(u_0\)).

On va calculer cette somme en procédant par étape.

Étape 1 : Détermination de \(n\)
On doit calculer \(v_0+v_1+v_2+…+v_{7}\) .
Par identification, on a donc  \(n-1=7\) et donc \(n=8\).

Étape 2 : Calcul du membre de droite
Puisque \(n-1=7\) et \(n=8\), le membre de droite de la propriété est :
\(v_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q}=1\times\dfrac{1-3^{8}}{1-3}=\dfrac{1-6~561}{-2}=\dfrac{-6~560}{-2}=3~280\) car \(v_0=1\) et \(q=3\).
Étape 3 : Conclusion
La somme des \(8\) premiers termes de la suite \((v_n)\) est :
\(\sum_{i=0}^{7}v_i=v_0+v_1+v_2+…+v_{7}=3~280\).